中國近代數學教育史稿

單維彰的私人書摘

李兆華主編(2005)。中國近代數學教育史稿。濟南市:山東教育出版社。 ISBN 7-5328-4804-3(李兆華、高紅成、易萍、侯鋼、王全來、王秀良)

中國之患,固非人人習算所能救,然我輩所能為者僅在是。

──劉光賁(古愚,1843-1903)〈諭味經諸生〉(陝西味經書院)(p.259)

如今讀這本書已經有點晚了──它已出版 17 年──但它的確還沒成為數學教育領域的「常識」。 對於作者群展現的實力,我感到敬畏,真是人多好辦事兒啊。 而且,他們可能也佔了史料之便。 但是最根本的,還是他們對這個議題表現的興趣:華人的數學課程史。

這本書籠統地說是涵蓋了(第一次)鴉片戰爭到辛亥革命之間的時段, 但我的印象集中在「辛亥前十年」,或者可以說是關注於「甲午戰敗」之後。 對於教會學校帶來的影響(就連「教科書」這個詞都是傳教士發明的), 以及數學教師社群的形成──同時標示著疇人的專業化、算學家的社會地位提升到近似經學家 (後者也在洪萬生的論述範圍內)──給我靈動的啟發。 這十年,其實清廷在教育事業上大有進步,辛亥革命並沒有影響這條脈絡的發展, 特別是因為袁世凱本人就是這條教育改革脈絡的主要角色。

「甲午戰敗」給了「洋務運動」(自強運動)蓋棺論定的總成績。 在那之前,清廷以為可以中學為體、西學為用;在那之後,許多人開始意識到政體與社會的根本問題,這給孫文的革命主張提供了火苗,而廣派留學則恰好給革命黨添加了材薪。

經歷第二次鴉片戰爭(1856-60)失敗和太平天國農民運動(1850-64)的打擊,清廷的統治根基徹底動搖。此後三十餘年,洋務運動成為「求強」、「求富」的實踐。甲午戰爭(1894)的失敗宣告洋務運動的破產。興學堂、派留學是洋務運動的一個重要方面。洋務學堂旨在培養交涉翻譯、編練新軍以及軍工製造等方面的實用人才。數學課成因而成為洋務學堂重要課程之一。     (p.30)

上海廣方言館慢北京同文館一年成立(1863)。 雖大致仿照京師同文館建制,但有些具體實施的差異。

首先,在生源方面,廣方言館「以年十四歲以下,資稟穎悟,根器端靜之文童充選」,沒有其他〔出身〕要求; 〔相對地,京師同文館只招特定「出身」的學生。〕 其次,課程設置方面,分為經學、史學、算學、辭章四類,從一開始就有算學。 〔相對地,京師同文館 1867 才增設天文算學館,李善蘭 1868 到任。〕 第三,考試方面,廣方言館西學與漢學並重。     (p.34)
上海廣方言館的天文/算學教習是賈步緯,他的授課內容大約在傳統數學《算經十書》、《數理經蘊》 和西方新數學的基礎如《代數術》、《重學》的範圍內,未及 1860-80 年代中算最高水平的內容:尖錐術、垛積數、弧矢論,以及西算的最新水平:微積分、圓錐曲線、對數。 (p.72) 圓錐曲線跟微積分一起出自墨海書館,時間都在 1859(咸豐九年)附近: 李善蘭分別與偉烈亞力譯《代微積拾級》、與艾約瑟譯《圓錐曲線說》。 在那之後,有顧觀光 (1799-1862)《三曲線記》、夏鸞翔 (1823-64)《致曲圖解》、 華蘅芳《拋物淺說》,皆屬中算成就。 但是在那之前,明末《崇禎曆書》之內已經附有橢圓,它獨自先傳入中國, 而在咸豐年間出現項名達 (1789-1850) 《象數一原》求橢圓周長, 及徐有壬《橢圓正術》 (1800-60,李善蘭友,江蘇巡撫,死於太平軍攻進蘇州城)。

1864 年廣東同文館開館。 上海廣方言館、廣東同文館比京師同文館早開始算學課程: 它們從開館即有算學課,上海廣方言館是第一個開設數學課程的洋務學堂 (p.72)。 但可能因為教習不是李善蘭,所以程度較為不足。 它們分別從 1868、67 年起,推薦算學優秀學生到京師給李善蘭。 (p.62) 例如席淦、汪鳳藻、王文秀、嚴良勛、汪遠焜來自上海廣方言館, 下一段還要繼續說的蔡錫勇,是廣東同文館首屆學生, 中文和算學皆受教於翰林院編修吳嘉善(吳先生以經學家之身而兼修算學)。 他在 1871 年被推薦到京師同文館從李善蘭學習。 (p.36) 京師同文館較著名的畢業生似乎都是來自南方的轉學生,僅貴榮和王季同是本科生。 接任李善蘭的是席淦,接席淦的是王季同(1895-1900 八國聯軍入北京,同文館解散,後來 1902 年併入京師大學堂而消失了;後面再說王季同)。

同文館以外,另有一批西學館、實學館、武學堂。 例如廣東西學館,由 1876 年代的兩廣總督劉坤一倡辦,1880 年接任的張樹聲開辦,1882 年開館。 辦學目的是「儲備水師將才」,選址在黃埔。 方愷任漢文教習,教漢文與算學。1884 年接任的張之洞先將它改稱為博學館, 再於 1887 年改建為廣東水陸師學堂,後來成為黃埔軍校的基地; 蔡錫勇可能是這時候成為張之洞的幕僚。 西元 1880 年直隸總督李鴻章奏請於天津機器局設天津水師學堂,1881 年落成。 算學是重要課程內容,佔總評量成績的三分之一。 嚴復任總教習廿餘年。 西元 1885 年設立的天津武備學堂是清廷第一所陸軍學堂,完全仿照德國陸軍學校,教官均為德國軍官。 (p.38ff) 盧靖 (1856-1948) 在 1887 年擔任天津武備學堂的算學總教習,同年華蘅芳加入教習。 盧靖在 1883 出版《火器真訣釋例》,擔任教習時編寫了《幾何原本衍》和《九章代數草》,方愷編寫了《代數通藝錄》、《佛山書院算課草》,應該都算是教材了。 方愷、吳嘉善的身分認同都是經學家,但是他們培育出相當多優秀的算學生,包括潘應祺、蔡錫勇 (p.42ff),可見經學家也可以習算到初等代數的程度。 西元 1888 年劉銘傳設「臺灣西學館」於台北大稻埕,學習外語為主(英語、法語),兼習中文、數學。(p.37,連橫《臺灣通史》此節有誤。) 西元 1889 年,張之洞改任湖廣總督,他分別在 1893 年設湖北自強學堂,1896 年設湖北武備學堂,皆在武昌;此人此校跟辛亥革命在武昌的成功有很大關係。 (p.39) 湖北自強學堂和武備學堂皆由蔡錫勇任學堂總辦。

第二章第二節有《同文館算學課藝》(1880) 精彩的舉例。 譬如 p.47 有「勾股形十三率」共羅列 13 條公式,這是非常「純數學」的品味。 所謂「四元」是天地人物,清後對應 x y z w (但是晚清還是習慣寫中文,就連教會學校皆然),p.55 有一例, 將四元非線性聯立方程「消元」成(一元)11 次方程,「開帶分」得 2.1492992... 取概數 2 又 1/2。 這個題型始於朱世杰《四元玉鑒》。p.56 另舉一個「天元」例(單變數), 已知果子總數,求「三角垛」之層數(亦即每層邊上的顆數), 用平方數之連加立式,故為 3 次方程, 用「正負開方術」,也就是迭代的綜合除法搭配泰勒多項式的變數變換,得解 12。 這個題型始於秦九韶《數書九章》。

頁 80-82 介紹王季同(1875-1948),他可能是李善蘭的再傳、席淦的學生, 他也可能是真正踏上國際舞台的第一位華人數學家, 而且他同時具備的「工程師」身分也很可以為現代疇人樹立一個可敬仰的榜樣。 八國聯軍之後,他跟隨著蔡元培;後來曾在德國西門子電機廠工作, 發明過一種變壓器,研究過「螺旋形彈簧」的數學模型,並成為中央研究院工程所的第一代研究員 (1927)。 他在辛亥革命那一年發表論文〈四元函數的微分法〉於 Proceedings of the Royal Irish Academy, Vol. XXXIX (1911), Sec. A, no. 4。 王季同似乎沒有入室弟子。

前面提過,「教科書」是傳教士發明的譯詞。 第四章〈教會學校的數學教育〉寫得非常清楚。 教會興辦的學校,自南京條約始:香港英華書院(1818 年創立於麻六甲,1843 年遷至香港)。 以 1877 年分段:那一年舉辦了「在華基督教傳教士大會」(5 月 10 日,上海), 會中決議由以下傳教士組成委員會: School and Textbooks Series Committee, 中文俗名為「學校教科書委員會」,雅名為「益智書會」。(p.124)

在 1877 年之前,教會學校約有 800 所,學生約 2 萬人,天主教較多(約 450 所), 以宗教教育為主(為他們自己培育教堂中的執事),大都沒有數學課程,有也是小學水平 (p.122)。 在那之後,教會學校向正規化、世俗化、貴族化轉變。 至世紀之交 (1900) 有教會學校約 2000 所,學生達 4 萬人,其中 10% 為中學; 雖然也開辦大學,但大學生不及 200 人。

「學校教科書委員會」後來陸續更名為「中華教育會」(1890)、「全國基督教教育會」、「中華基督教教育會」(1915)。 前者業績較優:1877-90 年間出版 50 種,後者直到辛亥革命共出版 34 種。 甲午之後,國人自編教科書逐漸贏回市場,商務印書館(上海)首開為各級學校編印整套教科書的紀錄,在 1902-10 年間出版小、中、大三級學制教科書共 43 種。(p.127ff)

登州文會館幾乎與京師同文館同時開辦,這兩處可能是中國第一代數學教師的搖籃(若將自學有成的李善蘭、華蘅芳、張文虎、吳嘉善、方愷等君歸為第零代)。 例如文會館畢業生張松溪 (1895 畢業) 有《勾股題鏡》、王錫恩 (1872-1932) 有《圖解三角》(p.130)。

《筆算數學》、《代數備旨》、《形學備旨》、《八線備旨》、《代形合參》是「學校教科書委員會」影響力較大的五本書。

《筆算數學》三卷 24 章 2,876 問,狄考文口譯,蓬萊鄒立文筆述,序文落款於 1892 年。 (鄒立文生卒不詳,可能是山東人,文會館的中文教師。) 此書以官話(白話文)寫成,在當時還算是少見的。 這本書倡議分子在上的分數寫法,異於偉烈亞力先前所立的規矩, 他解釋道:「算式橫列原不合中國文字之序,而法實顛倒更反乎西國通行之規, 故如此改之殊屬不妥。」(p.139)

《筆算數學》序:

算學者,係算法之總名,內包種類甚多,即如數學(arithmetic)、代數學、形學、八線學、微分積分等等。 凡此諸學,彼此各有分別,各有次序,然而皆以數學為本。 有此愈推愈廣,愈出愈精,以至算法之極微妙處。 故學者欲登算途,必不得躐等而進,非由數學入門不可。     (p.130)
前面說的「數學」是「算術」之意,當時的「數學」稱為「算學」。 而「數學」正式成為 mathematics 之譯詞,乃定於國立編譯館 1945 年出版的《數學名詞》; 那是抗戰時期一次通訊會議的投票結果,可是「數學」也只比「算學」多得一票而已。 《筆算數學》在「比例」與「百分數」之後,即有利息、保險、賺賠、糧餉、稅捐、乘方、開方、級數、差分(內插與外插),基本形體的面積/體積(包括棱台、圓台、球), 這些項目可謂「算術」的基本內容,但不能說它是「小學數學」吧? 換個角度來看,如今六年的小學教育,似乎尚未完成「算術」的學習。

《筆算數學》內容並非全自西方,也有來自《數理精蘊》、《算學啟蒙》 (朱世杰,1299)、《算法統宗》的題目。這可能是因為狄考文的漢學素養夠高。

《代數備旨》十三卷(13 章),狄考文口譯,蓬萊鄒立文、平度生福維筆述,序文落款於 1891 年,1896 年出版,當年銷盡 1,500 本,次年再刷修訂版。 這本書一直重刷到 1917 年(美華書館),還有搭配的參考書、題解出版, 看來都是華人寫的 (p.139)。從狄考文的序文可知 (p.136), 這本書相對於偉烈亞力、傅蘭雅先前的書,主要差異在習題: 「此二書皆無習問,學者無所推演,欲憑此以習代數,不亦難呼。」 而這本書並非譯自單一英文原著,而是「博採諸名家之著作輯成,並非株守故轍,拘於一成本也。」 當時的美國並無版權法,歐洲作者因此痛恨美國(例如狄更斯就曾痛罵美國人), 我猜狄考文沒讓原作者知道他翻譯了誰的書,他倒是大方地寫在序裡了,算是一種鳴謝吧: 「書中次序規模,則以魯莫氏為宗,而講解則多以拉本森為宗, 其無定方程〔不定方程〕則以投地很德為宗,總以取其所長為是。」 我沒去查那些原著作者和書籍,想必已經被歷史學者查明了吧。

《代數備旨》很可能是我國所有代數教材的共同「原本」。 在《代數備旨》裡,我發現一些有趣的名詞: 不等式稱為「偏程」,跟「方程」相對,有意思。 虛根稱為「幻根」,虛數單位稱為「幻生」。 雖然序言裡聲稱這本書注重說明理由:

所用名目記號,無不詳以解之。 所言諸理,無不明以證之。 其諸算式,亦無不先作解以顯其所以,後立法以示其當然。     (p.136)
但第 13 章〈二次方程〉即有「代數基本定理」;我打賭當時即不能證。

辛亥前十年,清廷倒是看起來很努力改革教育。至少在學校和學生的數量上很有進展。 癸卯學制 (1903) 施行後,到宣統元年 (1909) 已有小學堂 5,0394 所, 學生 149,2147 人。但小學堂基本上仍是書院格式,基本上一師一學堂, 每個學堂的學生人數不過 27 人。 中學堂 460 所,學生 4,0468 人。(p.156ff) 高等學堂(含專科與特種學校)123 校,2,2262 名學生, 其中只有 3 所「大學」,749 名大學生 (p.160ff)。 師範學堂 514 所,學生 2,8572 名 (p.163)。 辛亥前十年的新式學堂統計表顯示了驚人的數量發展: 學堂數從 769 變成 5,2500,學生數從 6912 變成 128,4965 (p.163)。 也就是這段時間,形成了數學教師專業社群。

西元 1905 年設「學部」,翌年六月成立「編譯圖書局」,成為編纂教科書的官方單位。 1910 年編定各科中英名詞對照表,是第一次官方統一數學名詞的規定。 此份文件規定「算學」對譯 arithmetic,此外還有代數、形學、平三角、弧三角、解析形學等,共六類。

辛亥前十年,留日學生成立的翻譯團體,翻譯日本和西方各國科學及教育書籍〔西方作品從日文譯本轉譯為中文〕,大量輸入國內,為新式學堂提供大量教材和參考讀物。 ... 長澤龜之助《初等幾何學教科書》、菊池大麓《平面三角學》、藤澤利喜太郎《算術小教科書》、上野清《代數學》。     (p.185)

目前所知國人自編的第一本微積分教科書是陳志堅 1905 年自序,06 年出版的《微積闡詳》五卷。 他自訴要寫這本書,相對前輩李善蘭、華蘅芳的不同在於:

《溯源》理窟深奧,讀者猝難領解;《拾級》則淺深有序、門徑易窺。惟是列款雖詳、詮題務簡,尚非按時授課之書。     (p.193)
可見陳先生已有「課程」概念,認為兩位前輩的書不適合用作教科書。 其實華蘅芳所譯之書原為教科書,可是他(和口譯的傳教士)卻選擇刪去習題。 周達在 1903 年訪問日本數學教育學者, 見過上野清,上野便批評刪除習題是不可取的。(p.245) 周達此人非常特殊,需注意──周達是清末望族「安徽建德周氏」第三代長子, 他在家譜中的名字是周明達,字美權,自名周今覺,1879-1949; 他是民國 24 年發起成立「中國數學會」的創始會員之一, 名列數學會第一屆董事(應該相當於理事吧), 並捐贈了數學會的第一所圖書館; 他在文化圈內出名的身分是集郵專家,有「郵王」之譽。

汪曉勤研究偉烈亞力,據他統計,偉烈亞力和李善蘭所創的數學譯詞為後世採用的比率約為:代數 44%,解析幾何 50%,微積分 65% (p.207)。這一頁也談了《決疑數學》(傅蘭雅、華蘅芳合譯,即機率論),結論是這本書沒有引起注意,也沒什麼影響力。

譚嗣同寫〈興算學議〉(1895)。收於《譚嗣同集》,圖書館有,待考。

後記

林福來老師於 7 月 8 日來函賜教:

數學教育史,尤其是課程,是比較有材料可以比對說話的。 日治時及國民政府到台灣的課程轉變,似乎不很遙遠,很想知道清楚的脈絡。

台灣高科技為本的經濟走向是否是唯一出路? 高科技為本的經濟台灣的定位與發展方向是什麼?(曾經坐聽所謂的兩兆雙星規劃) 台灣教育政策都以服務經濟發展為宗旨嗎?全人教育的理想可以有教育空間嗎? 在台灣環境下,數學教育的主體性白皮書如何規劃?

1986 隨團(6人)赴歐參訪科學教育研究,在巴黎跟受訪單位說一句我對她們數學教育的 studies 之美言,對方一句「這是法國傳統!」 希望台灣有一天大家有信心對交流參訪者說,這是我們的傳統!就像日本人已經可以說開放性問題解決是我們百年傳統!

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Created: July 4, 2022
Last Revised: 07/27, 24/04/28
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